k次元ハウスドルフ外測度の計算とH^2(B)≧πの証明

このページでは、k次元ハウスドルフ外測度に関する問題を解説し、R^2の単位球Bに対してH^2(B)≧πを示す方法について説明します。

k次元ハウスドルフ外測度とは

まず、k次元ハウスドルフ外測度H_δ^k(e)は、集合eを可算に被覆する集合Fに関して定義されます。ここで、ω_kはk次元単位球の体積、diam fは集合fの直径です。具体的には、H_δ^k(e)は以下の式で定義されます。

H_δ^k(e) = inf_F Σ_{f∈F} ω_k (diam f /2)^k

次に、k次元ハウスドルフ測度H^k(e)は、H_δ^k(e)をδ→0^+の極限で求めたものとして定義されます。

問題は、R^2の単位球Bに対して、H^2(B)≧πであることを示すことです。これには、単位球を適切な集合で覆い、そのカバーを使ってH_δ^2(B)の計算を行います。

単位球Bを2次元平面上で適切に分割し、各部分の直径を小さくすることで、H_δ^2(B)を計算することができます。最終的に、極限を取ることで、H^2(B)≧πが成り立つことが確認できます。

この証明には、まず単位球Bを細かい部分に分割し、それぞれの部分の直径がδより小さいようにします。次に、各部分に対して、その直径の2乗に対応する測度を加算します。この手法により、極限を取った際にH^2(B)≧πが成り立つことを確認できます。

k次元ハウスドルフ外測度を用いて、単位球Bに対する測度H^2(B)≧πを示す方法について解説しました。この問題は、幾何学的な分割と測度の計算を通じて、数学的に証明されます。