√2 + √5が無理数であることを証明する方法について、簡潔に説明します。無理数とは、有理数（整数や分数）で表すことができない数です。√2や√5はそれぞれ無理数ですが、これらを加えた場合の結果が無理数であることを示す方法を、具体的な手順を通して確認しましょう。
無理数とは？
まず無理数とは、分数（有理数）で表せない数のことを言います。例えば、√2は無理数です。なぜなら、√2を有理数の形式で表すことができないからです。無理数は、無限に続く小数を持ち、循環しない数字が特徴です。
この定義に基づいて、√2や√5が無理数であることは知られています。それでは、√2 + √5も無理数であることを証明してみましょう。
証明の概要
√2と√5は、それぞれ無理数であるため、これらの合計が有理数になることはありません。証明するためには、仮定に基づいて論理的に反証します。
もし仮に√2 + √5が有理数であると仮定しましょう。このとき、√2 + √5を有理数として表すことができるとします。すなわち、√2 + √5 = p/q（pとqは整数、q ≠ 0）と仮定します。
証明のステップ
まず、両辺から√2を引きます。
√5 = (p/q) – √2
これで、√5が有理数と無理数の差で表されていることがわかりますが、無理数と有理数の差が有理数であるはずがありません。したがって、最初の仮定が間違っていることがわかります。
このことから、√2 + √5は有理数ではなく、無理数であることが証明されました。
無理数の加算に関する一般的な結論
無理数同士の加算が必ず無理数になるとは限りませんが、一般的に、無理数の加算結果が有理数になることはありません。無理数同士の加算結果が有理数になるためには、特定の条件が必要ですが、√2と√5の場合、加算結果が有理数であるという矛盾が生じるため、必然的に無理数となります。
したがって、√2 + √5は無理数であることが確定します。
まとめ
√2 + √5が無理数である理由は、無理数同士の加算が有理数を生じることがないという基本的な数学的事実に基づいています。証明方法としては、仮定に基づいて反証を行い、無理数と有理数の加算結果が有理数になる矛盾を示すことができました。このように、無理数の加算は通常無理数となることが多く、√2 + √5もその例に当たります。
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