中学3年生で習う二次関数の最大値・最小値の問題は、放物線の性質を理解することが解法の鍵となります。特に、定義域における最大値や最小値を求める場合、放物線の軸の位置に応じた場合分けが重要です。本記事では、具体的な例を用いて、場合分けの方法とその理由を解説します。
二次関数の基本的な理解
まず、二次関数の一般的な形について確認しましょう。関数f(x)=x²−2ax+a²+1は、xについての二次関数です。二次関数は、グラフが放物線を描きます。この放物線が上に凸か下に凸かは、x²の係数（この場合は1）によって決まります。
上に凸（最小値が存在）か、下に凸（最大値が存在）のどちらかで、グラフの性質を理解することが重要です。ここでは、下に凸の放物線について考えます。
場合分けの必要性
質問のように、関数f(x)=x²−2ax+a²+1の最大値を求める問題では、定義域が0≦x≦2と指定されています。放物線の軸がx=aであり、この軸の位置によって関数の最大値や最小値がどこで取られるかが変わります。
もしx=aが定義域の中央であるx=1に重なる場合、定義域の左端（x=0）または右端（x=2）で最大値を取ることが確定します。このとき、場合分けを行うことにより、aの値に応じて解を求めやすくなります。
場合分けの具体例：a≦1と1≦aの場合
参考書では、a＜1のとき、a＝1のとき、1＜aのときに場合分けされていますが、質問者が指摘しているように、a≦1と1≦aの2つにまとめて考えても問題ない場合もあります。
しかし、a＝1の場合を別に扱う理由は、放物線の軸がx=1に重なるため、最大値が明確に定義域の端点で求まることが保障されるためです。この場合、x=1での値を特別に考慮する必要があります。
解法の進め方：最大値を求める
実際に最大値を求める手順は、まず放物線の軸x=aが定義域の中央であるx=1と重なる場合、f(x)の値をx=0, x=1, x=2で評価することから始まります。
次に、aが1未満または1以上である場合において、軸x=aが定義域の外に出ると、最大値が端点で取られることが分かります。このため、aの範囲に応じて場合分けし、最大値を確認する必要があります。
まとめ
二次関数の最大・最小を求める際には、放物線の軸の位置が重要なポイントになります。特に、定義域の中央に軸が重なる場合、場合分けを行うことでより簡潔に解を導くことができます。質問者が感じたように、a≦1と1≦aに分ける方法でも解けることが多いですが、a＝1の場合を分けることで、最小値や最大値を正確に求めることができる場合があります。
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