数学的帰納法と合同式を用いた4n^3 - nの3の倍数証明

この問題では、自然数nに対して4n^3 – nが3の倍数であることを、数学的帰納法と合同式を使って証明する方法を解説します。

問題の設定

与えられた式は4n^3 – nで、これが3の倍数であることを証明する必要があります。数学的帰納法を使う場合、この式をn=1のときに成り立つことを確認し、その後n=kのときに成り立つと仮定してn=k+1のときにも成り立つことを証明します。

また、合同式を使う方法についても触れ、どのように証明に役立つかを説明します。

まず、n=1のときに式が成り立つか確認します。4(1)^3 – 1 = 4 – 1 = 3、これは3の倍数です。

次に、n=kのときに4k^3 – kが3の倍数であると仮定します。すなわち、4k^3 – k ≡ 0 (mod 3)が成り立つと仮定します。

次に、n=k+1のときに式が成り立つことを示します。4(k+1)^3 – (k+1)を展開して、式の変化が3の倍数であることを示します。

合同式を使ってこの問題を解く方法もあります。まず、4n^3 – nをmod 3で考えます。

合同式により、4n^3 – n ≡ n^3 – n (mod 3)と簡単にできます。ここで、n^3 – nが3の倍数であることを示せれば、問題は解決します。

n^3 – nはn(n^2 – 1)として因数分解でき、n^2 – 1はnが1または2のときに3の倍数になります。これにより、4n^3 – nが3の倍数であることが証明されます。

数学的帰納法を使って、または合同式を使って、4n^3 – nが3の倍数であることを証明する方法を紹介しました。どちらの方法も非常に有効であり、どちらを使うかは好みによるところですが、合同式を用いた方法は特に短くて簡潔に解けることが多いです。