部分積分の使い方と二回積分が必要な理由をわかりやすく解説

部分積分を使う際に、特に「x^2・e^-x」のように二回積分をしなければならない場合があります。このような場合、なぜ二回積分が必要なのかを理解するためには、部分積分の基本的な考え方をしっかり把握することが大切です。今回は、赤ちゃんでも理解できるように、部分積分をやさしく解説します。

部分積分の基本的な考え方

部分積分とは、積分を二つの部分に分けて計算する方法です。基本的な公式は次のようになります：
∫u dv = u v – ∫v du です。この公式を使うと、複雑な積分をより簡単に計算することができます。

「x^2・e^-x」のような式を積分する場合、部分積分を一度だけでは解けません。この理由は、積分後に残った項も再度積分する必要があるからです。最初に「u = x^2」と「dv = e^-x dx」を選んで部分積分を行い、次に残った積分を再度部分積分することで解けます。

一回の部分積分では、「e^-x」が残りますが、このままでは解けません。この「e^-x」を積分すると再びxが現れるので、もう一度部分積分を使って解いていきます。この二回目の部分積分で、最終的な答えに到達します。

部分積分を使う際に二回積分が必要になる理由は、残る項が再度積分を必要とするからです。最初の部分積分で簡単にならない式を取り除き、二回目の部分積分で完全に解くことができます。このプロセスを理解することで、他の複雑な積分問題にも対応できるようになります。