「AB=2である2定点ABに対し、AP^2 – BP^2 = 1を満たす点Pの軌跡を求めよ」という問題は、幾何学的な理解と座標平面を使った計算を駆使する問題です。解法の過程で、座標を使って求めたPの軌跡がどのように一般化されるのかについても解説します。
問題の整理
問題は、定点AとBが与えられたときに、点Pが「AP^2 – BP^2 = 1」という関係を満たす軌跡を求めるものです。この条件を理解するためには、距離の2乗がどのように関係するかを考えます。
具体的に、A(0, 0)とB(2, 0)の座標で与えられた場合、点P(x, y)はこの条件を満たすような軌跡を描きます。
点Pの軌跡の計算
まず、式「AP^2 – BP^2 = 1」を利用して、Pの座標(x, y)を求めます。APは点PとAの距離、BPは点PとBの距離です。
距離の公式を使うと、AP^2 = x^2 + y^2、BP^2 = (x – 2)^2 + y^2 になります。この式に「AP^2 – BP^2 = 1」を代入して、計算を進めます。
x^2 + y^2 – [(x – 2)^2 + y^2] = 1
この式を展開して整理すると、次のようになります。
x^2 + y^2 – (x^2 – 4x + 4 + y^2) = 1
-(-4x + 4) = 1
4x – 4 = 1
4x = 5
x = 5/4
点Pの軌跡がABを5:3に内分する理由
求めたx = 5/4を使ってPの位置を特定しましたが、最終的にPの軌跡はABを5:3に内分する点を通ることになります。この結果がなぜ成り立つのかを理解するためには、点PがABの直線上にあることを確認する必要があります。
「AP^2 – BP^2 = 1」の式は、PがABの直線上で、かつABを5:3に内分する点を通ることを示しています。これは、一般化された場合でも同様に成り立ちます。したがって、AとBの座標が変わっても、この関係は変わらず適用できるのです。
一般化の考え方
AとBの座標が変わる場合でも、AP^2 – BP^2 = 1の関係は成立します。なぜなら、この式が示すのは、点PがABを5:3に内分する点を通る軌跡を描くという幾何学的な性質だからです。この性質は、座標が異なっても、同じ比率で内分する性質を保つため、問題におけるABの位置やPの位置が変わってもこの関係は成立します。
まとめ
「AP^2 – BP^2 = 1」を満たす点Pの軌跡を求める問題では、まず距離の公式を使って式を整理し、その後Pの座標を求めます。最終的に、点PはABを5:3に内分する点を通ることがわかります。この理解を通じて、座標が変わっても同じ幾何学的な関係が成り立つことが確認できます。
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