二項定理の展開と符号の解説：なぜプラスになるのか？

「(2√3 – 1)^2」の展開式における符号の違いについての疑問を解決します。この問題では、式の中でなぜ「+1^2」の前の部分がプラスになるのかがポイントです。この記事では、二項定理に基づく展開の方法と符号の決定について、わかりやすく解説します。

二項定理とは？

二項定理は、(a ± b)^2 のような式を展開するための基本的な公式です。具体的には、次のように展開します。

(a ± b)^2 = a^2 ± 2ab + b^2

この公式を使うと、(a – b)^2 や (a + b)^2 を簡単に展開することができます。

具体的な例として、「(2√3 – 1)^2」を展開してみましょう。この式を二項定理に従って展開すると、次のようになります。

(2√3 – 1)^2 = (2√3)^2 – 2 × (2√3) × 1 + 1^2

ここで、展開の中に現れる「- 2 × (2√3) × 1」や「+ 1^2」に関して、なぜプラスとマイナスの符号が決まるのかを理解することが重要です。

二項定理を使って展開した式の中で、「- 2 × (2√3) × 1」の項は「-2ab」に対応しています。この部分の符号は、「a – b」の「-」の符号に従います。

一方で、「1^2」の部分は、単純にb^2を計算した結果です。この項の符号は常にプラスです。二項定理では、bの二乗（b^2）の結果がプラスになるため、「+ 1^2」となります。

では、実際に式を計算してみましょう。

(2√3 – 1)^2 = (2√3)^2 – 2 × (2√3) × 1 + 1^2

= 4 × 3 – 2 × 2√3 × 1 + 1

= 12 – 4√3 + 1

= 13 – 4√3

「(2√3 – 1)^2」を展開する際に、なぜ「+1^2」の前がプラスになるのかという疑問については、二項定理に基づく式の展開と符号のルールに従っています。このように、符号は式の構成要素に応じて決定され、確実に計算が行われます。理解を深めることで、今後の計算もスムーズに進むようになります。