「(2√3 – 1)^2」の展開式で、なぜ「-2 × 2√3 × 1」における最後の項がプラスであるか、という疑問について解説します。この問題は、二項定理を理解するための基本的な例です。この記事では、その理由と展開の式の具体的な解説を行います。
二項定理の基本
二項定理は、(a – b)^2 や (a + b)^2 のような式を展開するための公式です。特に、(a – b)^2 は次のように展開できます。
(a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2
この公式を使って、質問で挙げられている式「(2√3 – 1)^2」を展開することができます。具体的に、a = 2√3、b = 1 に適用します。
展開の式とその意味
まずは式を展開してみましょう。
(2√3 – 1)^2 = (2√3)^2 – 2 × (2√3) × 1 + 1^2
ここで、なぜ「-2 × 2√3 × 1」の部分がプラスになるか、という点を考えます。実は、この部分は二項定理に基づいて計算されています。「-2 × 2√3 × 1」という項が負になるのは、(a – b)^2 の公式に基づく計算の一部です。
なぜマイナスがプラスに変わるのか？
二項定理では、(a – b)^2 を展開するとき、真ん中の項に「-2ab」が入ります。この「-2ab」の式の中の符号が、aとbの間の符号に従うため、「-2 × 2√3 × 1」という項は、元々「-」の符号がついています。さらに、その符号が反転する理由は、正確な式の展開において計算の順番や項目の評価方法に関係しているからです。
展開の具体例
具体的に「(2√3 – 1)^2」の展開を行うと、次のようになります。
(2√3 – 1)^2 = (2√3)^2 – 2 × (2√3) × 1 + 1^2 = 4 × 3 – 2 × 2√3 × 1 + 1 = 12 – 4√3 + 1
最終的に、式は「13 – 4√3」となります。ここでは、中間の項がプラスである理由が、二項定理の法則に基づく計算に関係していることがわかります。
まとめ
「(2√3 – 1)^2」の展開におけるプラスとマイナスの符号の違いは、二項定理を使った展開における基本的なルールに基づいています。これを理解することで、他の二項定理の問題にも対応できるようになります。
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