数列の和と初項を使った計算：S100 = 100a, S200 = 200a の理由

数列における和の計算は、数列の初項や公差を理解する上で非常に重要です。特に、数列の初項をaとして、和がS100 = 100a, S200 = 200aになる理由は、等差数列の性質に関係しています。この記事では、その理由を詳しく解説します。

1. 数列の和とは

数列の和、特に初項をa、共通差をrとする等差数列の和は、特定の式を使って計算できます。数列の和は、最初の項からn番目の項までのすべての項を足し合わせたものです。

等差数列の場合、和を求めるための公式は次のようになります。

S_n = n/2 * (2a + (n – 1) * r)

ここで、S_nはn番目までの和、aは初項、rは共通差、nは項数を表します。

2. r = 1 の場合の和

質問の中で与えられているr = 1の場合、等差数列の公差が1であることを意味します。つまり、各項の間に差はなく、隣接する項の間隔は常に1です。この場合、数列は次のように進んでいきます。

a, a+1, a+2, a+3, …

このような場合における和を求めるための式は次のように簡略化されます。

S_n = n/2 * (2a + (n – 1))

r = 1の場合、上記の式に代入すると、次のように簡単に計算できます。

3. S100 = 100a および S200 = 200a の理由

r = 1 の場合、公式を使用してS100やS200を計算すると、次のようになります。

S_100 = 100/2 * (2a + (100 – 1) * 1) = 50 * (2a + 99) = 50 * 2a + 4950 = 100a + 4950

S_200 = 200/2 * (2a + (200 – 1) * 1) = 100 * (2a + 199) = 100 * 2a + 19900 = 200a + 19900

したがって、S100 = 100a と S200 = 200a という式が成り立つためには、補正項（4950 や 19900）が含まれています。質問にある「S100 = 100a, S200 = 200a」の表現は、この補正項が省略されているか、別の形で記載されている可能性があります。

4. 実際の数式の理解を深めるための例

例えば、初項 a = 3 の場合を考えてみましょう。S100 を計算すると、次のようになります。

S_100 = 100/2 * (2 * 3 + (100 – 1) * 1) = 50 * (6 + 99) = 50 * 105 = 5250

これと同様に、S200も計算することができます。初項が異なれば、和の値も変化しますが、一般的な形式は同じです。

5. まとめ

等差数列の和において、r = 1の場合は、項数nが大きくなると、和が初項aに比例して増加します。S100 = 100a や S200 = 200aという表現は、あくまで初項が与えられた場合の特定の計算結果に関連しており、実際の計算では補正項が含まれることがあります。数列の和を正しく理解するためには、公式をしっかりと覚え、具体的な計算を通じて確認していくことが大切です。