定積分の計算は時として複雑ですが、計算過程を明確にすることで、理解が深まります。今回は定積分 ∫(1/√3,0) 1/(1-x^4) dx の解法について、正しい計算過程を示し、最終的な結果がどのように導かれるのかを詳しく解説します。
1. 定積分の問題設定
問題となっている定積分は、次のように表されます。
∫(1/√3,0) 1/(1-x^4) dx
この積分を解くためには、関数の特性を理解し、適切な変数変換や積分の手法を使用する必要があります。
2. 計算のアプローチ
この積分を解くには、積分の分母に含まれる x^4 をうまく処理する必要があります。まず、関数の分母を因数分解することで、積分をより簡単な形に変換します。
分母を因数分解すると、次のような式に変換できます。
1/(1-x^4) = 1/[(1-x^2)(1+x^2)]
この形にすることで、部分分数分解を適用することが可能になります。
3. 部分分数分解による解法
次に、部分分数分解を用いて積分を計算します。この方法を使用することで、複雑な式を分解して、それぞれの項を個別に積分することができます。
部分分数分解の結果として、積分は次のような形に分解されます。
∫(A/(1-x^2)) + ∫(B/(1+x^2)) dx
それぞれの積分を計算することで、最終的な結果に到達することができます。
4. 積分計算と最終結果
部分分数分解後、それぞれの項を積分します。具体的には、次のように積分を解きます。
∫(A/(1-x^2)) dx = 1/2 * log| (1+x)/(1-x) |
∫(B/(1+x^2)) dx = 1/2 * arctan(x)
最終的に、定積分の結果は次のようになります。
π/12 + 1/4 * log(2/3)
5. よくある誤解と注意点
質問者の友人が求めた答えが異なっている理由として、部分分数分解を行う際の計算ミスや、積分の範囲を誤って計算した可能性が考えられます。
また、計算の途中で符号や定数を正しく取り扱うことが重要です。積分の途中経過での誤りが最終的な結果に大きな影響を与えることがあるので、注意深く計算を進めることが求められます。
まとめ
定積分 ∫(1/√3,0) 1/(1-x^4) dx の計算では、部分分数分解を利用して積分を解きます。最終的な結果は、π/12 + 1/4 * log(2/3) となります。積分計算の過程をしっかり理解し、細かい計算に注意を払いながら進めることが重要です。
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