x^3y – xy^3 + x^2 – y^2 – 2xy – 1 の因数分解方法

与えられた式 x^3y – xy^3 + x^2 – y^2 – 2xy – 1 の因数分解を行います。この式は一見複雑に見えますが、いくつかのステップを踏むことで、因数分解することができます。ここではその方法を解説していきます。

1. 式の整理とグループ化

まず、式をよく見てみましょう。与えられた式は次の通りです。

x^3y – xy^3 + x^2 – y^2 – 2xy – 1

これをグループに分けると、次のようになります。

(x^3y – xy^3) + (x^2 – y^2) – (2xy + 1)

2. 各項の因数分解

次に、それぞれのグループに注目して、因数分解を行います。

• x^3y – xy^3 = xy(x^2 – y^2) → x^2 – y^2 は差の二乗の形です。
• x^2 – y^2 = (x – y)(x + y) → これは差の二乗の公式を使用しています。
• -2xy – 1 は因数分解できません。

3. 因数分解の整理

これで、元の式は次のように整理できます。

xy(x – y)(x + y) – 2xy – 1

これに対してさらに変形を加えていきます。

4. 最終的な因数分解の方法

式をさらに整理すると、最終的に次の形にまとめることができます。

(x – y)(x + y) – 2xy – 1

しかし、ここでは完全な因数分解は難しくなります。上記の式に対して具体的な値を代入してチェックすることで解答に近づけることができます。

5. まとめ

最初の式 x^3y – xy^3 + x^2 – y^2 – 2xy – 1 の因数分解の過程を通じて、式をグループ化し、差の二乗の公式やその他の基本的な因数分解のテクニックを使用しました。この問題は完全な因数分解には少し工夫が必要ですが、概念を押さえていれば解法に近づけることができます。