lim_{δ→0} Σ_{n∈N} a_δ(x_n) の証明と条件について

実数列 (a_δ(x_n))_{n∈N} について、lim_{δ→0} Σ_{n∈N} a_δ(x_n) = Σ_{n∈N} lim_{δ→0} a_δ(x_n) が成立するためにはどのような条件が必要か、そしてその証明方法について解説します。

問題の設定

与えられた問題は、lim_{δ→0} Σ_{n∈N} a_δ(x_n) と Σ_{n∈N} lim_{δ→0} a_δ(x_n) が等しくなる条件について問うものです。このような形で極限と和の順番を入れ替えることができる条件を探ります。

まず、lim_{δ→0} Σ_{n∈N} a_δ(x_n) は、δが0に近づくにつれて a_δ(x_n) の値がどのように変化するかを表し、Σ_{n∈N} lim_{δ→0} a_δ(x_n) は各項におけるδが0のときの極限を先に取った和です。この2つが等しいための条件を導きます。

条件の導出

まず、一般的な結果として、極限と和の順番を入れ替えるためには「一様収束」という条件が必要となります。すなわち、a_δ(x_n) がδに関して一様に収束している必要があります。

一様収束とは、δが0に近づくとき、すべてのnに対してa_δ(x_n)が同時に収束することを意味します。この条件が満たされると、lim_{δ→0} Σ_{n∈N} a_δ(x_n) = Σ_{n∈N} lim_{δ→0} a_δ(x_n) が成り立ちます。

一様収束の証明方法

一様収束の証明には、まずa_δ(x_n) の各項があるε > 0 に対して、十分小さなδにおいて |a_δ(x_n) – a_∞(x_n)| < ε となるようなδを見つける必要があります。この性質が成立すれば、極限を和の前に持ってくることができます。

具体的には、a_δ(x_n) が一様収束するための十分な条件を設定し、それに基づいて証明を進めます。これにより、極限と和を入れ替えることができることが示されます。

まとめ

lim_{δ→0} Σ_{n∈N} a_δ(x_n) = Σ_{n∈N} lim_{δ→0} a_δ(x_n) が成り立つための条件は、a_δ(x_n) がδに関して一様収束することです。この条件を満たすことで、極限と和の順番を入れ替えることができることが証明されます。数学的な解析において、このような条件を意識することで、さまざまな問題を解決することが可能になります。