中学3年生の数学の問題で、「連続する2つの奇数の2乗の和から2を引いた数が8の倍数になることを証明しなさい」という問題に直面したとき、どうやって証明すればよいのでしょうか。実は、この問題を解くためには、数式をどのように置くかがカギとなります。特に、最小の数を「n+1」と置く方法と「2n+1」と置く方法では、結果が異なる場合があります。本記事では、この違いを解説し、証明の方法をステップごとに説明します。
連続する奇数の数式を作る
まず、問題のポイントを整理しましょう。連続する2つの奇数とは、例えば1と3、5と7、9と11のように、隣り合う奇数です。一般的に、1番小さい奇数を「n+1」と置くことができます。この表現がなぜ使われるのか、そしてどうして別の方法を使うと証明がうまくいかないのかを見ていきます。
1. 「n+1」と置く場合
最小の数を「n+1」と置くと、次の奇数は「n+3」になります。この方法で問題を進めると、連続する奇数の2乗の和は次のように表せます。
(n+1)^2 + (n+3)^2
これを展開すると、以下の式になります。
n^2 + 2n + 1 + n^2 + 6n + 9 = 2n^2 + 8n + 10
この式から2を引いた数は、以下のように計算できます。
2n^2 + 8n + 10 – 2 = 2n^2 + 8n + 8
ここで注意すべきは、式の右側が「8」でくくれる形になる点です。すなわち、式は8の倍数になります。このように、最小の数を「n+1」と置くことで、8の倍数であることが証明されます。
2. 「2n+1」と置く場合
次に、最小の数を「2n+1」と置いた場合を考えます。ここでは、次の奇数が「2n+3」になります。この方法でも問題を解こうとすると、連続する奇数の2乗の和は次のように表せます。
(2n+1)^2 + (2n+3)^2
これを展開すると、以下の式になります。
4n^2 + 4n + 1 + 4n^2 + 12n + 9 = 8n^2 + 16n + 10
この式から2を引いた数は、次のように計算できます。
8n^2 + 16n + 10 – 2 = 8n^2 + 16n + 8
こちらも、右側の式は8の倍数にまとまります。つまり、この場合も8の倍数になり、証明が成立します。
最小の数の置き方による違い
「n+1」と置く方法と「2n+1」と置く方法には、どちらも同じ結果が得られることがわかりますが、それぞれの式がどう展開されるかに違いがあります。どちらの方法を選ぶかは、問題に与えられた条件に応じて、証明しやすい方を選べば良いのです。
証明における重要なポイント
数学の証明において大切なことは、与えられた条件をどのように数式に落とし込むかです。特に、このように「連続する2つの奇数」のように、数式を設定する際には、どのような変数を使うかが結果に大きな影響を与えます。
本記事で紹介した「n+1」と「2n+1」の違いを理解することは、今後の数学の問題にも役立ちます。どちらの方法を使うかによって、解法が変わることがあるため、柔軟に対応できるようにしておきましょう。
まとめ
「連続する2つの奇数の2乗の和から2を引いた数が8の倍数になる」という問題は、最小の数を「n+1」や「2n+1」と置くことで解けます。いずれの方法でも、最終的に8でくくれる形になり、証明が成立します。このように、数式をどのように設定するかが証明の成否を左右するため、問題に対して適切なアプローチを選ぶことが重要です。
コメント