∫ (tanx/cos^2 x)dxの不定積分に関する疑問とその解法

不定積分の問題での置換積分は、非常に便利な方法ですが、正しい変数の選択が重要です。今回の質問に関して、∫(tanx/cos^2 x)dxをどのように置換積分すべきかについて解説します。

問題の理解とアプローチ

まず、積分式は∫(tanx/cos^2 x)dxです。tanxはsinx/cosxと表せるため、式を変形すると∫(sinx/cos^3 x)dxとなります。しかし、問題の本質はどの変数を置換するかです。

質問者はcosxをtと置いて積分を試みたようですが、この方法には問題があります。tanxを置換変数として選ぶことが最も自然なアプローチです。

tanxをtと置いて積分する場合、tanxの微分はsec^2 xdxになります。これをうまく利用することで、積分が簡単に解けます。具体的には、tanx = tと置き、sec^2 x dx = dtという関係を使うことで、積分が一つの変数tで表現され、簡単に解くことができます。

逆に、cosxをtとした場合、積分式がより複雑になり、無理に解こうとすると誤った結果を導く可能性が高いです。このため、tanxを選ぶことが適切です。

具体的な手順は次の通りです。まず、tanx = tとおいて、微分を行い、積分を簡略化します。これにより、式が簡単になり、計算を進めやすくなります。

また、置換積分を行う際には、どの変数を選ぶかに注意し、誤った選択を避けることが重要です。適切な置換を選ぶことで、解法がスムーズに進むことがわかります。

今回の問題において、tanxを置換変数として使用することが最適です。cosxをtとする方法では積分が複雑化してしまうため、tanxをtとする置換積分が正しいアプローチとなります。数学における置換積分の選択肢は慎重に行うことが解法のカギです。