実数解を持つための条件：x^2 + 2nx + 2 = 0 の十分条件とその理解

方程式 x^2 + 2nx + 2 = 0 が実数解を持つための十分条件を考えることは、高校数学の重要なテーマです。実数解を持つための条件は判別式を用いて導くことができます。この記事では、この方程式が実数解を持つために必要な条件と、それに対する十分条件を理解するために必要な知識を解説します。

方程式の判別式を使った実数解の条件

二次方程式 ax^2 + bx + c = 0 が実数解を持つための条件は、判別式 Δ = b^2 – 4ac が非負であることです。この判別式が0以上であれば、方程式は実数解を持ちます。

今回の方程式 x^2 + 2nx + 2 = 0 において、a = 1, b = 2n, c = 2 です。したがって、判別式 Δ は以下のように計算できます。

Δ = (2n)^2 – 4(1)(2) = 4n^2 – 8

この判別式 Δ が0以上であれば、実数解を持つことが確定します。つまり、4n^2 – 8 ≥ 0 の条件を満たす必要があります。

実数解を持つための十分条件は、判別式 Δ が0以上であることです。上記の式において、Δ ≥ 0 を満たす条件を求めると、次のようになります。

4n^2 – 8 ≥ 0

n^2 ≥ 2

したがって、n の絶対値が √2 以上であれば、方程式は実数解を持つことがわかります。

「十分条件でない条件」というのは、ある条件を満たすだけでは実数解を保証できない場合に該当します。この問題では、n^2 ≥ 2 という条件は実数解を持つための「十分条件」であり、これが満たされていれば実数解を持ちます。

例えば、もし問題文で n < 0 という条件だけが与えられた場合、それは実数解を持つための十分条件にはなりません。なぜなら、n が小さい負の値であっても、判別式が負になる場合があり、その場合は実数解を持たないからです。

x^2 + 2nx + 2 = 0 が実数解を持つための十分条件は、n^2 ≥ 2 です。判別式を使って解を求め、十分条件を確認することが重要です。また、「十分条件でない条件」についても、条件が全てを満たすわけではないことを理解しておくと良いでしょう。