複素数の実数と純虚数の条件について解説

複素数において、実数と純虚数の条件はどのように定義されるのか、またその違いは何かについて解説します。この問題では、複素数の実数と純虚数を理解するための基本的な概念を明確にします。

1. 複素数の基本概念

複素数とは、実数と虚数の和として表現される数です。複素数zは、一般的にz = x + yi（x, yは実数、iは虚数単位）で表されます。このzは、実部xと虚部yを持ちます。ここで、iは虚数単位であり、i² = -1という性質があります。

複素数が実数であるためには、虚部がゼロである必要があります。つまり、z = x + yiの形をしている複素数が実数であるためには、y = 0でなければなりません。したがって、zが実数であるという条件は、y = 0です。

一方、純虚数とは、実部がゼロであり、虚部のみが存在する数です。複素数z = x + yiが純虚数であるためには、実部xがゼロで、虚部yがゼロでない必要があります。したがって、x = 0かつy ≠ 0という条件で、複素数は純虚数となります。

質問にある「なぜzは実数の条件にx ≠ 0が必要ないのか？」という点ですが、実際にはy = 0が成り立てば、xがどんな値でもzは実数になります。実数であるためには虚部yがゼロであれば十分であり、実部xは実数の範囲で任意の値を取れるため、x ≠ 0という制約は特に必要ありません。

複素数が実数になるためには、虚部がゼロであればよく、純虚数になるためには実部がゼロで、虚部がゼロでない必要があります。このように、実数と純虚数の条件を明確に分けることで、複素数の理解が深まります。