mod4からmod8への拡張とx²≡0,4(mod8)の導出方法

数論における合同式は、しばしば理解が難しいことがあります。特に、mod4からmod8への拡張に関する問題は、思考が難しく感じられることが多いです。この問題では、x≡0,2(mod4)のとき、x²≡0,4(mod8)がどのように導かれるかを解説します。

合同式の基本的な理解

合同式とは、ある数が別の数で割った余りが同じであることを示します。例えば、x≡a(mod m)という式は、xとaがmで割ったときに同じ余りを持つことを意味します。これに基づいて、数の性質や関係を調べることができます。

合同式の基本的なルールを理解することは、複雑な問題を解くために非常に重要です。特にmod4やmod8などの小さな数での合同式は、整数の性質を考える際に有用です。

まず、x≡0,2(mod4)を考えます。これは、xが4で割ったときに余りが0または2であることを意味します。このとき、xを具体的に見ていくと、xは次のように表現できます。

x = 4k, 4k+2 (kは整数)

次に、x²を考えます。それぞれの場合でx²を計算してみましょう。

x = 4kのとき、x²は次のように計算できます。

x² = (4k)² = 16k²

16k²は8で割った余りが0になるので、x²≡0(mod8)です。つまり、x≡0(mod4)のとき、x²≡0(mod8)が成立します。

x = 4k+2のとき、x²は次のように計算できます。

x² = (4k+2)² = 16k² + 16k + 4

この式を8で割った余りを考えると、16k² + 16kは8で割り切れますので、余りは4です。したがって、x²≡4(mod8)が成立します。

これらの計算から、x≡0(mod4)のときx²≡0(mod8)、x≡2(mod4)のときx²≡4(mod8)が成り立つことがわかります。このように、mod4からmod8への拡張は、単に数式の計算を行うだけでなく、合同式の性質を深く理解するための重要なステップとなります。

例えば、x=4のとき、x²=16となり、16は8で割ると余りが0です。また、x=6のとき、x²=36となり、36は8で割ると余りが4です。このように、mod4の条件をmod8に拡張することで、より詳しい数の性質を探ることができます。

x≡0,2(mod4)のとき、x²≡0,4(mod8)が成立する理由は、xの具体的な値を求め、x²を計算することで明らかになります。mod4からmod8への拡張は、合同式の計算を進める際に重要な概念であり、数論における基本的な考え方を深く理解する手助けになります。