四元数の計算方法と問題解説

四元数は複素数の拡張で、3次元空間を扱うために重要な数学的ツールです。ここでは、四元数の演算問題を解く方法について詳しく解説します。問題として、与えられた四元数をa+bi+cj+dkの形に表現する方法を紹介します。

問題1: (2+3i-j)(1+4k)

まず、この四元数の積を求めます。四元数の掛け算は分配法則に従って計算します。計算を行うと次のようになります。

(2+3i-j)(1+4k) = 2(1+4k) + 3i(1+4k) – j(1+4k)

それぞれ計算していくと、得られる結果は次の通りです：
= 2 + 8k + 3i + 12ik – j – 4jk.
ここで、i、j、kの積を計算すると、
ik = j, jk = -iなので、最終的に得られる四元数は
2 + 3i – j + 8k + 12j + 4i = 2 + 7i + 11j + 8kとなります。

問題2: (1+i-k)^2

次に、この四元数の二乗を求めます。二乗は以下のように計算します。

(1+i-k)^2 = (1+i-k)(1+i-k)

分配法則を用いて計算すると。

= 1(1+i-k) + i(1+i-k) – k(1+i-k)

これを計算すると。

= 1 + i – k + i + i^2 – ik – k – ki + k^2.

i^2 = -1, k^2 = -1, ik = j, ki = -j なので、最終的に得られる四元数は。

= 1 + 2i – 2k – j – j – 1 = 0 + 2i – 2k – 2jです。

問題3: (3+4j)^(-1)(5+10k)

最後に、この四元数の逆数と掛け算を求めます。まず、(3+4j)の逆数を求めます。四元数の逆数は、分母をその共役四元数で割ることで求めます。共役四元数は、虚数部分の符号を反転させるだけです。

(3+4j)の共役四元数は(3-4j)です。したがって、(3+4j)の逆数は。

(3+4j)^(-1) = (3-4j) / (3^2 + 4^2) = (3-4j) / 25。

この逆数を(5+10k)に掛けると。

= (3-4j) / 25 * (5+10k)

これを計算すると。

= (3*5 + 3*10k – 4j*5 – 4j*10k) / 25 = (15 + 30k – 20j – 40jk) / 25

jk = -iなので、最終的に得られる四元数は。

= (15 + 30k – 20j + 40i) / 25 = 3/5 + 6/5k – 4/5j + 8/5iです。

まとめ

このように、四元数の計算には分配法則と積の計算を用いることが重要です。また、四元数の逆数や共役も計算の一部としてよく使用されます。問題を解く際には、各ステップを慎重に計算することが大切です。特に、虚数部分i、j、kの積を間違えないようにしましょう。