線形代数：一次変換の固有値と固有空間の基底の求め方

線形代数における一次変換の固有値と固有空間を求める方法について解説します。ここでは、高々2次の多項式全体からなるベクトル空間Vを考え、一次変換F:V→Vの固有値とその固有空間の基底を求める方法を学びます。

1. 問題の設定

まず、高々2次の多項式全体からなるベクトル空間Vについて考えます。このベクトル空間に対して、以下のような一次変換Fを定義します。

F(a0 + a1x + a2x^2) = (a1 + a2) + (a0 + a2)x + (a0 + a1)x^2

この変換Fが与えられたとき、(1) Fの固有値を求め、(2) それぞれの固有値に対応する固有空間の基底を求めます。

2. 固有値の求め方

固有値を求めるためには、まず固有値の定義に基づいて方程式を立てる必要があります。固有値λは、次の方程式を満たす必要があります。

F(v) = λv

ここで、vはベクトル、λは固有値です。この方程式を基に、一次変換Fが与えられたときに特定のλに対応するvを求めることができます。

3. 固有空間の基底の求め方

固有空間の基底を求めるためには、固有値λに対応する固有ベクトルを求め、そのベクトルから固有空間の基底を作成します。固有空間とは、固有値に対応する固有ベクトルから生成されるベクトル空間のことです。固有値λに対して、固有ベクトルvを求めることで、その固有空間の基底が得られます。

このようにして、Fの固有値と固有空間を求めることができます。

4. まとめ

線形代数における一次変換の固有値と固有空間を求める方法について、問題の設定から計算方法まで解説しました。固有値を求めるためには、固有値方程式を解くことが重要です。また、固有空間の基底を求めるためには、固有ベクトルを求め、そのベクトルから基底を作成します。この方法を理解することで、より高度な線形代数の問題に対応できるようになります。