数学の式を解くとき、式の変形を行うことがよくありますが、どのような変形が同値変形と呼ばれるのでしょうか？この記事では、式の変形の一例として、与えられた式の変形過程を解説し、それが同値変形であるかどうかを検討します。
問題の確認と式の展開
まず、次の3つの式が与えられています。
1. a + 1 = k(b + c + 2)
2. b + 1 = k(c + a + 2)
3. c + 1 = k(a + b + 2)
これらの式を足し合わせて、次のように展開します。
(a + 1) + (b + 1) + (c + 1) = k[(b + c + 2) + (c + a + 2) + (a + b + 2)]
この展開を進めると、次のようになります。
a + b + c + 3 = 2k(a + b + c + 3)
同値変形の進行
次に、この式から以下の形に変形します。
(a + b + c + 3)(1 – 2k) = 0
この変形が「同値変形」として正当化されるかどうかを考えてみましょう。同値変形とは、元の式と同じ解を持つように式を変形することを意味します。
式(a + b + c + 3)(1 – 2k) = 0は、2つの因子が0である場合に解が成り立ちます。すなわち、a + b + c + 3 = 0 または 1 – 2k = 0です。
同値変形としての正当性
さて、a + b + c + 3 = 0または1 – 2k = 0に帰着させることは、元の式の解を保ったまま変形することに該当します。したがって、この変形は同値変形として正当です。
式の両辺に何らかの演算を行っても、その解が変わらないのであれば、それは同値変形です。上記の変形過程で、元の式の解は変更されていないため、この変形は正当であると言えます。
まとめ
与えられた式の変形過程では、同値変形が適用されています。具体的には、式を展開して、a + b + c + 3 = 2k(a + b + c + 3)を得た後、その式を因数分解することで、解が変わらずに形を変えることができました。式を変形する際には、常に元の解を保持することが重要です。したがって、この変形は正しい同値変形です。
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