y/xが単調増加だとそのグラフが自己交差しない理由について

高校数学の問題において、「y/xが単調増加だとそのグラフが自己交差しない」という表現が出てきた時、その意味がよくわからないこともあります。この問題では、単調増加と自己交差の関係について理解する必要があります。

単調増加とは

まず、「単調増加」という言葉の意味から説明します。関数が単調増加であるとは、その関数の値が常に増えていくことを意味します。具体的には、xの値が増えるにつれてyの値も増えていくような関数です。

次に「自己交差」の意味です。自己交差とは、グラフが自分自身を交差することを指します。例えば、x軸上で複数の異なるxの値に対して、yの値が同じである場合、グラフが交差することになります。

y/xが単調増加する場合、関数は常に増加しているため、yの値が複数回同じになることがありません。これにより、グラフが自己交差することはなくなります。単調増加の関数では、xの値が増えるとyの値も必ず増えるため、同じyの値に対して異なるxが存在することはなく、グラフが交差することはないのです。

例えば、y = xのような一次関数を考えると、xが増加するに従ってyも増加します。この場合、グラフは一直線で、自己交差することはありません。もしy/xが単調増加しているとすると、同じようにxが増加することでyも増加し、同じy値に対応する複数のxが現れないため、自己交差することはないのです。

y/xが単調増加するという条件では、グラフが自己交差しない理由は、関数が常に増加しているため、同じyの値に対応する異なるxの値が存在しないからです。数学的に言えば、単調増加関数はxが増えるとともにyも増加するため、グラフが交差することはありません。