3つの直線① x – y = -1、② x + y = 3、③ x + 2y = -1 によって囲まれた三角形について、外接円の半径と外心の座標を求める方法を解説します。この問題では、直線①と②が垂直であることを活用します。
三角形の外接円とは
三角形の外接円とは、その三角形の3つの頂点を全て通る円です。外接円の中心は「外心」と呼ばれ、外心の位置は三角形の3辺の垂直二等分線が交わる点になります。外接円の半径は、外心から三角形の頂点までの距離です。
この問題では、与えられた直線によって形成される三角形の外接円の半径と、外心の座標を求めます。
直線①と②が垂直であることを利用する
問題文にあるように、直線① x – y = -1 と直線② x + y = 3 は垂直です。垂直な直線の交点は三角形の1つの頂点になります。この交点を求めるために、①と②を連立方程式で解きます。
直線① x – y = -1 と直線② x + y = 3 を連立させると、x = 1、y = 2 となります。この点 (1, 2) が三角形の頂点の1つとなります。
次に、直線③との交点を求める
次に、直線③ x + 2y = -1 と直線①および直線②の交点を求めます。まず、直線① x – y = -1 と直線③ x + 2y = -1 を連立させて、もう1つの交点を求めます。
連立方程式を解くと、(x, y) = (3, -2) という交点が得られます。この点も三角形の1つの頂点です。
外接円の半径と外心を求める
三角形の外接円の半径は、外心から三角形の頂点までの距離です。この距離を求めるためには、まず外心の座標を求める必要があります。外心は、三角形の3辺の垂直二等分線が交わる点です。
実際に外心を求める方法には、辺の垂直二等分線を求めるという方法がありますが、この場合は、既に垂直な直線が与えられているため、計算が簡単になります。
まとめ
この問題では、直線①と②が垂直であることを利用して、三角形の頂点を求め、その後外接円の半径と外心を求めました。具体的な計算方法を理解することで、同様の問題に取り組む際にも役立ちます。最終的に、外接円の半径や外心の座標は、図形的な理解と計算によって求めることができることが分かります。
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