直線の交点を通る直線の方程式の導出方法

数Ⅱで扱う直線の方程式の問題において、2つの直線の交点を通る直線の方程式を求める方法は、複数の直線が交わる点を通る新たな直線を求めるという内容です。この記事では、具体的な式を使ってその考え方を解説します。

問題設定と直線の方程式

まず、与えられた2つの直線の方程式は次の通りです。

この2つの直線が交わる点を通る直線の方程式を求めるのが今回の問題です。交点を通る直線の方程式がどのように導き出されるのかを見ていきましょう。

交点を通る直線の方程式を求めるためには、与えられた直線の方程式を組み合わせる方法が有効です。具体的には、次のように考えます。

2つの直線の方程式を合わせることで、新たな直線の方程式を表現します。この方法を使って交点を通る直線の方程式を求める際、与えられた式に「k」というパラメータを加えて線形結合を行います。この手法を用いることで、2つの直線の特徴を持った新しい直線を作り出すことができます。

式の組み合わせによって交点を通る直線の方程式が導かれます。具体的に、次のように式を変形します。

k(x + y – 4) + (2x – y + 1) = 0

この式は、2つの直線の方程式を加重平均する形で表現されています。kは定数で、異なる値を取ることで異なる直線が得られることを示しています。

式に登場するkは、直線の傾きを調整するためのパラメータです。kの値を変えることで、交点を通る直線の傾きが変化します。例えば、k=1の場合、元の直線と同じ傾きの直線が得られますが、kが他の値の場合、交点を通る直線が異なる傾きを持つことになります。

直線の方程式をこのように表現することで、交点を通る直線を柔軟に定義することが可能になります。

例えば、k=1と設定した場合、次のような方程式が得られます。

(x + y – 4) + (2x – y + 1) = 0

これを解くと、交点を通る直線の具体的な方程式が求められます。実際に計算してみると、kの値を調整することでさまざまな直線が得られることが確認できます。

2つの直線の交点を通る直線の方程式は、与えられた2つの直線の方程式を加重平均する方法で求めることができます。kというパラメータを使用して、交点を通る直線の傾きを調整することができ、柔軟に新しい直線を導き出すことが可能です。この方法は、直線の交点やその周辺の直線を求める際に非常に有効です。