△ABCにおけるsinB + sinCの範囲を求める方法

△ABCの問題で、角Aが60°の場合にsinB + sinCの範囲を求める問題です。この問題は三角関数を使った範囲の計算が必要であり、三角形の性質を活用することで解くことができます。この記事ではその解法をステップごとに説明します。

三角形の性質と角度の関係

△ABCの角Aが60°である場合、角Bと角Cの和は必ず180°になります。すなわち、B + C = 180° – 60° = 120°です。このことを利用して、sinB + sinCの範囲を求めることができます。

角Bと角Cは三角形の角であるため、それぞれの角度が0°から180°の間に収まります。したがって、BとCが120°になる範囲内で、sinB + sinCがどのように変化するかを考えます。

sinB + sinCの式は、三角関数の加法定理を使用して求めることができます。加法定理を使うと、sinB + sinCは以下のように書けます。

sinB + sinC = 2 × sin((B + C) / 2) × cos((B – C) / 2)

ここで、B + Cは120°なので、(B + C) / 2 = 60°です。この式を使うことで、sinB + sinCがどのように変化するかを調べます。

sinB + sinCを最大化するためには、cos((B – C) / 2)を最大化する必要があります。cosの最大値は1なので、このときsinB + sinCは2となります。

最小値を求めるためには、cos((B – C) / 2)が最小値を取る場合を考えます。cosの最小値は-1なので、このときsinB + sinCは-2となります。したがって、sinB + sinCの範囲は-2から2の間であることがわかります。

△ABCにおいて、角Aが60°の場合、sinB + sinCの範囲は-2から2となります。このように三角関数の加法定理や三角形の性質を利用することで、特定の角度における三角関数の範囲を求めることができます。