円C上の接線の方程式の求め方と符号の違いについて

円Cの方程式c^2 + y^2 = 10上にある点(-1,3)における接線の方程式を求める問題です。この問題では、接線の方程式が-1•x + 3•y = 10ではなく、x – 3y = -10になる理由について説明します。

接線の方程式を求める方法

円の方程式c^2 + y^2 = 10から、接線の方程式を求めるためには、まず円の中心と半径を求めます。円Cの方程式は、(x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2の形をしていますが、円Cの中心は(0, 0)であり、半径は√10です。

接線の方程式は、与えられた点(-1, 3)を通る直線の方程式です。接線の式は点-直線形式で求めることができ、ここでは代数的に求めることができます。

問題では-1•x + 3•y = 10の形がx – 3y = -10になる理由について質問があります。接線の方程式を求める際、式を整理する過程で符号が変わることがあります。

-1•x + 3•y = 10を変形すると、x – 3y = -10の形になります。この変換は、式を簡単に表現するための符号の取り扱いに関するものです。実際には、符号を変更しても方程式の意味するところは変わりません。すなわち、符号が変わるだけで、直線の位置関係はそのままであるということです。

接線の方程式を求める際、まず円の方程式から接点を導き、接線の傾きを求めます。次に、点(-1, 3)を通る接線を求めると、最終的に得られる方程式がx – 3y = -10となります。

このように、符号の取り扱いは計算の簡便さに関わるだけであり、最終的な方程式は同じ直線を表します。ここで重要なのは、正しい計算を行うことと、符号の取り扱いに注意することです。

接線の方程式を求める問題では、式の変形過程で符号が変わることがありますが、これは計算の簡便化のためであり、最終的な直線の位置は変わりません。x – 3y = -10といった形は、-1•x + 3•y = 10と同じ直線を表しています。符号を適切に扱うことが解法のカギとなります。