大学数学の微分の問題で、合成関数の微分を使ってzuとzvを求める方法に困っている方へ。この記事では、具体的な例を使って、合成関数の微分をどのように計算するかを解説します。
問題の設定と式の整理
与えられた関数は次の通りです。
- z = xy² + x²y
- x = u + v
- y = u – v
まず、zをxとyの関数として表現し、次にxとyをuとvの関数として表現することが重要です。このようにして、微分の際に必要な変数に置き換えます。
合成関数の微分法則の適用
合成関数の微分を求めるために、まずはチェーンルール（合成関数の微分法則）を適用します。zをuおよびvで微分するためには、zをxとyで微分し、その後xとyをuとvで微分します。
チェーンルールの形は次のようになります。
- zu = (∂z/∂x)(∂x/∂u) + (∂z/∂y)(∂y/∂u)
- zv = (∂z/∂x)(∂x/∂v) + (∂z/∂y)(∂y/∂v)
具体的な微分の計算
まず、z = xy² + x²yをxとyで微分します。
- ∂z/∂x = y² + 2xy
- ∂z/∂y = 2xy + x²
次に、x = u + vとy = u – vについてそれぞれ微分します。
- ∂x/∂u = 1, ∂x/∂v = 1
- ∂y/∂u = 1, ∂y/∂v = -1
これらをチェーンルールに代入すると、zuとzvを求めることができます。
zuとzvの最終的な計算結果
zuとzvを計算すると、次のようになります。
- zu = (y² + 2xy)(1) + (2xy + x²)(1) = 6u² – 2v²
- zv = (y² + 2xy)(1) + (2xy + x²)(-1) = -4uv
これで、zu = 6u² – 2v²、zv = -4uvが得られます。問題文で与えられた答えと一致します。
まとめ
合成関数の微分を解くためには、チェーンルールを適用し、関数を適切に置き換えてから微分します。微分の順序と計算の過程を整理することで、問題を正確に解くことができます。今回の問題では、zをxとyで微分し、さらにxとyをuとvで微分することで、最終的な答えを求めました。
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