グラフの平行移動に関する問題は、座標の変化を理解することが鍵となります。この記事では、関数y＝a(x－p)＋qがどのように平行移動するか、またその移動に基づいてa、p、qの値を求める方法を解説します。
1. 関数の形と平行移動の理解
まず、関数y＝a(x－p)＋qは、基本的な2次関数の変形形です。この形では、aが関数の傾きや開き具合、pがx軸方向の平行移動、qがy軸方向の平行移動を決定します。y＝a(x－p)＋qのグラフは、x軸方向にpだけ、y軸方向にqだけ平行移動します。
例えば、y＝a(x－p)＋qのグラフをy＝a(x)＋qに変えるとき、x軸方向にpだけ移動したことを意味します。平行移動による座標変化をきちんと把握することが、この問題を解く上で重要です。
2. 問題の設定と与えられた情報の理解
問題文には、関数y＝a(x－p)＋qのグラフが、x軸方向に3、y軸方向に4だけ平行移動させると、y＝2(x－4)²＋7のグラフに重ね合わせることができると記載されています。このとき、平行移動によってy＝a(x－p)＋qの式がどのように変化するかを求めます。
まず、y＝2(x－4)²＋7の式は、標準的な2次関数の形式であることに注意しましょう。これをy＝a(x－p)＋qに一致させるために、移動量や係数を比較する必要があります。
3. 平行移動の影響を考える
y＝a(x－p)＋qの式が、y＝2(x－4)²＋7のグラフに重ね合わせるためには、2つの点を確認する必要があります。
- x軸方向の平行移動: 問題文によれば、x軸方向に3だけ移動させるということは、p = 4となります。
- y軸方向の平行移動: y軸方向に4だけ移動させるためには、q = 7となります。
また、関数の係数aは、移動後も同じ形状を保つために一致しなければなりません。y＝2(x－4)²＋7の場合、a = 2であるため、a = 2となります。
4. a、p、qの値を求める
これまでの議論をまとめると、y＝a(x－p)＋qの式におけるa、p、qの値は次のように求められます。
- a = 2
- p = 4
- q = 7
したがって、y＝a(x－p)＋qのグラフを、y＝2(x－4)²＋7のグラフに一致させるためには、a = 2、p = 4、q = 7である必要があります。
5. まとめ
今回の問題では、平行移動によるグラフの変化を考え、a、p、qの値を求めました。平行移動に関する基本的な理解を持つことが、この問題を解く鍵となります。移動量を正確に把握し、それに基づいて関数のパラメータを決定する方法を身につけることができました。
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