0.1.2.3.4.5.6.7の数字から作る5桁の整数で、5の倍数は何通りあるか？

「0.1.2.3.4.5.6.7」の数字から異なる5桁の整数を作り、その中で5の倍数が何通りかを求める問題です。この問題では、5の倍数の特性を考慮して解法を進めます。

1. 5の倍数の特徴

5の倍数であるためには、整数の末尾の数字が0または5でなければなりません。したがって、この問題では末尾の数字を「0」または「5」に限定して考える必要があります。

末尾が「0」の場合、残りの4桁は「1, 2, 3, 4, 5, 6, 7」の中から選ぶ必要があります。4桁を選ぶ方法は、7つの数字から4つを選び、並べる方法です。したがって、4桁の並べ方は7P4（順列）となり、計算すると7×6×5×4=840通りです。

末尾が「5」の場合も同様に、残りの4桁は「0, 1, 2, 3, 4, 6, 7」の中から選びます。この場合も4桁を選ぶ方法は7P4で、計算すると840通りです。

末尾が「0」の場合と「5」の場合のそれぞれで840通りずつあり、合わせて1680通りとなります。したがって、この問題の答えは「1680通り」となります。

この問題では、5の倍数の特性に従い、末尾を「0」または「5」に限定して考えることが重要でした。最終的に、5の倍数の5桁の整数は1680通りであると求めることができました。