4桁の回文数は11で割り切れることを示す方法

4桁の回文数は、読みが前から読んでも後ろから読んでも同じ数のことです。例えば、1221や3443などがそれにあたります。この問題では、4桁の回文数が11で割り切れることを示す方法について説明します。

回文数の一般的な形

4桁の回文数は、一般的にabcdという4桁の数が回文数である場合、abccbaという形になります。したがって、4桁の回文数は以下のように表すことができます。

回文数 = 1000a + 100b + 10b + a = 1001a + 110b

次に、回文数1001a + 110bが11で割り切れるかどうかを見てみましょう。1001a + 110bが11で割り切れるためには、1001a + 110bを11で割った余りが0である必要があります。

1001を11で割ると、1001 ÷ 11 = 91となり、余りが0です。同様に、110を11で割ると、110 ÷ 11 = 10となり、余りが0です。

具体的に、例えば回文数1221を考えてみましょう。これを1001a + 110bの形に当てはめると、a = 1、b = 2です。

1221 = 1001 × 1 + 110 × 2 = 1001 + 220 = 1221

このように、1221も1001a + 110bの形に表すことができ、11で割ると余りが0であるため、1221は11で割り切れます。

4桁の回文数は、1001a + 110bの形で表すことができ、1001と110がともに11で割り切れるため、すべての4桁の回文数は11で割り切れることが分かります。