関数 f(x) = (x - 1)(x² + 2ax + b) の相異なる実数解に関する条件

関数f(x) = (x – 1)(x² + 2ax + b)が与えられたとき、方程式f(x) = 0が相異なる3つの実数解を持つための条件を求める問題です。この記事では、この関数における解の条件についてわかりやすく解説します。

関数 f(x) の構造

与えられた関数は、f(x) = (x – 1)(x² + 2ax + b)です。この関数は2つの部分から成り立っています。一方はx – 1という一次の因子であり、もう一方はx² + 2ax + bという二次の因子です。

f(x) = 0を解くためには、この関数がゼロになるxの値を求める必要があります。まず、f(x) = (x – 1)(x² + 2ax + b)とおくと、f(x) = 0となるためには、x – 1 = 0 または x² + 2ax + b = 0 のいずれかが成立する必要があります。

最初の方程式x – 1 = 0からは、x = 1という解が得られます。次に、二次方程式x² + 2ax + b = 0の解を求めます。

二次方程式x² + 2ax + b = 0の解の有無は、判別式Δ = (2a)² – 4×1×bで決まります。この判別式Δが正であれば、2つの異なる実数解が得られます。したがって、Δ = 4a² – 4b > 0となることが必要です。

この条件は、二次方程式x² + 2ax + b = 0が2つの異なる実数解を持つための必要十分条件です。

f(x) = 0が相異なる3つの実数解を持つためには、x = 1という解に加えて、二次方程式x² + 2ax + b = 0が2つの異なる実数解を持つ必要があります。したがって、判別式Δが正であることが条件です。

関数f(x) = (x – 1)(x² + 2ax + b)が相異なる3つの実数解を持つためには、判別式Δ = 4a² – 4b > 0が成り立つ必要があります。この条件が満たされると、f(x) = 0はx = 1に加えて、さらに2つの異なる実数解を持つことになります。