確率の問題：7つのライトが3回色を変える確率の求め方

本記事では、スイッチを入れると赤か青に光る7つのライトが並ぶ問題を取り上げ、その中で色がちょうど3回変化する確率を求める方法について解説します。まず問題の内容を整理し、確率の計算方法をステップごとに詳しく見ていきましょう。

問題の整理と色の変化の定義

スイッチを入れると、7つのライトが赤または青のいずれかに光ります。色の変化とは、隣り合うライトの色が異なるときにカウントします。例えば、「赤赤青赤青」といった並びの場合、色の変化は3回です。

この問題では、色の変化がちょうど3回である確率を求めることが求められています。まずは、どのように色が変化するのかを考えてみましょう。

各ライトが赤か青のいずれかに点灯する確率は1/2です。7つのライトのうち、何回色が変化するかを求めるには、色の変化が3回である場合のライトの並び方を求める必要があります。

色が変化する回数を考えるとき、ライトの並び方は特定のパターンになります。具体的には、色の変化が3回ということは、ライトの色が交互に変わる必要があります。つまり、赤と青が交互に並ぶ必要があるため、この条件に合う並び方を計算する必要があります。

7つのライトがある中で色の変化が3回である場合、ライトの色の並びは次のように分けられます。

これらの並びでは、赤と青が交互に並び、色の変化が3回発生します。

色の変化がちょうど3回である場合の並び方は、上記の2パターンに限定されます。したがって、これらの並びが起こる確率を求めることができます。

各ライトが赤か青に光る確率は1/2ですので、7つのライトが特定の色に光る確率は (1/2)^7 です。しかし、色の変化が3回である並び方は2通りなので、最終的な確率は次のようになります。

確率 = 2 × (1/2)^7 = 2 × 1/128 = 1/64

スイッチを入れると、7つのライトが赤か青のいずれかに点灯し、その色がちょうど3回変化する確率を求める問題では、色の変化が3回である並び方を2通りに絞り、確率を計算することができます。最終的な確率は1/64となります。確率の問題では、条件を整理し、適切な並び方や計算方法を選ぶことが重要です。