方程式(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=24の解法

高校数学の問題でよく見かける、四項式の方程式を解く方法について解説します。今回は「(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=24」という方程式を解いていきます。この記事では、どのようにしてこの問題を簡単に解くことができるのか、その手順を具体的に示します。

問題の整理と因数分解

まず、この方程式を見てみましょう。左辺は4つの因数が掛け合わさった形になっています。このような方程式を解くためには、まず因数をまとめると解きやすくなります。

具体的には、(x+1)(x+4)と(x+2)(x+3)という2つの部分に分けて考えます。この時点で、(x+1)(x+4)と(x+2)(x+3)の計算を行い、それぞれの部分を簡単化していきます。

まずは、(x+1)(x+4)を展開します。これを計算すると、

(x+1)(x+4) = x² + 5x + 4

次に、(x+2)(x+3)を展開します。これを計算すると、

(x+2)(x+3) = x² + 5x + 6

これで方程式は次のようになります。

(x² + 5x + 4)(x² + 5x + 6) = 24

次に、変数の置き換えを行うと計算が楽になります。ここで、z = x² + 5x とおくと、式は次のように簡単化されます。

(z + 4)(z + 6) = 24

上記の式を展開して、zに関する二次方程式に変換します。

(z + 4)(z + 6) = z² + 10z + 24

これを24で引くと、z² + 10z = 0 という方程式になります。

z(z + 10) = 0

これを解くと、z = 0 または z = -10 となります。

最後に、z = x² + 5x に戻して解きます。

まず、z = 0の場合。

x² + 5x = 0

x(x + 5) = 0

x = 0 または x = -5

次に、z = -10の場合。

x² + 5x + 10 = 0

この方程式を解くと、解は実数解を持たないため、ここでの解はありません。

したがって、方程式「(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) = 24」の解は、x = 0 または x = -5 です。

このように、四項式の方程式を解くためには因数分解を使って式を簡単にし、その後、適切な変数置き換えを行って解を求めます。今回は「(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=24」を解く方法を詳しく解説しました。問題を整理していくことで、複雑に見える方程式も簡単に解けることが分かります。