数学の問題で、関数y=(√x)sinx(0≦x≦π)のグラフを書き、さらにそれをx軸の周りに回転させてできる立体の体積を求める問題があります。この問題を解くために、まず関数のグラフを正しく描く方法について解説します。その後、体積を求めるための手順を説明します。
y=(√x)sinxのグラフを描く方法
まず、関数y=(√x)sinxのグラフを描くためには、いくつかのステップを踏む必要があります。xの範囲が0≦x≦πであるため、この区間内で関数の値を求めていきます。
y=(√x)sinxという関数は、xが0からπまでの範囲で定義されています。この関数のグラフを描くためには、xの値を少しずつ増加させながら、それぞれのxに対してyの値を計算し、プロットしていきます。
y’を求める方法
次に、導関数y’を求めます。問題文によると、y’は次のように求められています。
y’ = (sinx + 2xcosx) / (2√x)
y’ = 0となるxの値を求めるためには、この式を解く必要があります。まず、y’ = 0と置き、式を解いていきます。具体的には、sinx + 2xcosx = 0となるxの値を求めることが必要です。
場合分けと解法
この式を解くためには、いくつかの数学的な手法を使うことができます。例えば、sinxとcosxを使った三角関数の式に変形したり、数値的な解法を使って近似値を求めたりする方法があります。
解法によっては、xの値として特定の数値が得られる場合があります。それをグラフにプロットすると、関数の極値や変化の様子が見えてきます。
回転体の体積の求め方
y=(√x)sinxのグラフをx軸の周りに回転させると、立体の体積を求めることができます。回転体の体積を求めるためには、円環断面積を積分する方法を使用します。
体積Vは、次の式で求められます。
V = π ∫[a,b] (y(x))^2 dx
ここで、a=0、b=πとし、y(x) = (√x)sinxを代入して積分を行います。具体的な計算方法は、関数の形に応じて積分を実行することです。
まとめ
y=(√x)sinxのグラフを描くためには、まず関数の定義に基づいて値を計算し、導関数を求めて解を得ることが重要です。また、回転体の体積を求めるためには、円環断面積を積分していくことになります。このような問題では、数値的な手法や解析的な手法を使いこなすことが鍵となります。
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