正規分布がピアソン分布族に属することを示す方法

この質問では、正規分布N(μ,σ^2)がピアソン分布族の分布であることを示す方法について解説します。ピアソン分布族の定義に基づき、正規分布がその族に含まれる理由を詳しく説明します。

ピアソン分布族とは？

ピアソン分布族は、確率分布を表現する一般的な形式で、いくつかの特定の確率分布がこの族に属しています。ピアソン分布族の確率分布は、指数型分布関数として表現でき、パラメータを用いて簡潔に記述することができます。

ピアソン分布族の確率密度関数は次のように表現されます。

f(x;θ) = exp(θT(x) - A(θ))h(x)

ここで、θは分布のパラメータで、T(x)は十分統計量、A(θ)は正規化関数、h(x)は基準関数です。

正規分布の確率密度関数

次に、正規分布の確率密度関数を確認しましょう。正規分布N(μ,σ^2)の確率密度関数は次のように表されます。

f(x;μ,σ^2) = (1 / √(2πσ^2)) exp(-(x - μ)^2 / 2σ^2)

この式は指数型関数の形式であり、ピアソン分布族の定義と一致しています。したがって、正規分布はピアソン分布族に含まれることがわかります。

正規分布のピアソン分布族への適合

正規分布の確率密度関数をピアソン分布族の一般的な形式と照らし合わせると、次のようにパラメータを対応させることができます。

• 十分統計量T(x) = x
• 正規化関数A(θ) = μθ – (θ^2 / 2σ^2)
• 基準関数h(x) = 1 / √(2πσ^2)

これにより、正規分布がピアソン分布族に属することが確認できます。

まとめ

正規分布N(μ,σ^2)がピアソン分布族の分布であることは、指数型分布関数の形式で表される確率密度関数を持っているためです。正規分布の確率密度関数をピアソン分布族の一般的な形式に合わせることで、正規分布がピアソン分布族に含まれることを示すことができます。これにより、正規分布の性質や応用に関する理解が深まります。