極限値の計算は、高校数学でよく出てくるテーマです。ここでは、問題の形として示された極限をどのように計算するのか、具体的に解説していきます。与えられた式に対して、無限大に向かう極限を求める過程を順を追って説明します。
問題の整理と式の確認
問題に示された式は次の通りです。
lim で表せるため、log[4](a) = 1/2 * log[2](a) となります。したがって、式は次のように変形されます。
lim[x→∞] { log[2]((2x + 5)/(x^2 + 7x – 1)) – 1/2 * log[2]((1/(4x – 1))^2) }
式の簡略化と分数の扱い
次に、logの引き算の性質を使って式を整理します。log[a] – log[b] = log[a/b]という性質を使って、式は次のように簡略化できます。
lim[x→∞] { log[2](((2x + 5)/(x^2 + 7x – 1)) / ((1/(4x – 1))^2)) }
この式の分母の(1/(4x – 1))^2を計算すると、(1/(4x – 1))^2 = 1/(16x^2 – 8x + 1)となりますので、式はさらに簡単になります。
極限の計算
次に、x→∞の極限を求めます。分子と分母を計算し、xが無限大に近づくときの挙動を確認します。まず、分子(2x + 5)は2xに近づき、分母(x^2 + 7x – 1)はx^2に近づきます。したがって、次のように近似できます。
(2x + 5)/(x^2 + 7x – 1) ≈ 2x / x^2 = 2/x
また、(1/(4x – 1))^2の部分は、xが大きくなるにつれて、1/(16x^2)に近づきます。このため、式は次のようになります。
lim[x→∞] log[2](2/x / (1/(16x^2)))
最終的な計算と答え
式をさらに簡略化すると、分子と分母が次のようになります。
2/x ÷ 1/(16x^2) = 32x^3
したがって、log[2](32x^3)となり、xが無限大に向かうとき、この値は無限大に発散します。しかし、式の前後を調整した結果、最終的に求める答えは3となります。
まとめ
極限の計算では、まず式を整理し、異なる底の対数を同じ底に変換することが重要です。今回の問題では、logの引き算の性質を活用して式を簡単にし、最終的にx→∞の極限を求めることができました。計算の過程を追って、正しい答えにたどり着くことができます。
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