離散数学における量子化記号の使い方と真偽判定の方法

離散数学でよく登場する量子化記号（∀、∃）の使い方について、特に片方の変数にしか量子化記号が付いていない場合や、量子化記号が付いていない場合の真偽判定方法に困っている方も多いでしょう。本記事では、量子化記号がどのように使われるのか、またその判定方法について、具体例を交えて解説します。

量子化記号とは？

量子化記号（∀、∃）は、述語論理で変数が全体に対して真であるか、またはある特定の値に対して真であるかを示す記号です。∀は「全ての」を意味し、∃は「存在する」を意味します。

例えば、「∀x P(x)」は「全てのxについてP(x)が成り立つ」と解釈します。一方で、「∃x P(x)」は「xが存在してP(x)が成り立つ」と解釈します。

量子化記号が片方の変数にしか付いていない場合の考え方

質問では、量子化記号が片方の変数にしかついていない場合の問題について言及されています。例えば、「P(1, y)」や「∃x Q(x, y)」といった式に関して、yが量子化されていないため、yをどのように扱うかが分からないという問題です。

まず、「P(1, y)」のようにyが量子化されていない場合、yは任意の値を取ることができると考えます。つまり、yに特定の値を代入して、P(1, y)が真か偽かを確認することになります。

量子化記号が付いていない場合の真偽判定

量子化記号が付いていない場合、その変数は定義域全体にわたって成立するかどうかを確認する必要があります。例えば、「∃x Q(x, y)」という式では、xが存在してQ(x, y)が成り立つかを考えるため、yは定まっていないため、yに任意の値を代入し、xがその条件を満たすかを調べます。

このように、量子化記号が付いていない変数には任意の値を代入して検討を行います。

量子化記号が付いた場合の論理的な解釈

量子化記号が付いている場合は、変数が全体に対して真であるのか、特定の値に対して真であるのかを明確にする必要があります。例えば、「∀y ∃x Q(x, y)」という式では、「全てのyについて、xが存在してQ(x, y)が成り立つ」という意味です。この場合、yがどの値を取っても、それに対して適切なxが存在しQ(x, y)が成立するかを調べます。

このような式では、yに対してすべての値を検討し、各yに対してxがどうであるかを調べる必要があります。

まとめ

離散数学における量子化記号の使い方には、記号が付いていない変数や片方の変数にしか記号が付いていない場合の真偽判定が重要です。量子化記号が付いていない変数は任意の値を代入して検討し、記号が付いている場合はその意味を論理的に解釈して検証します。これらの考え方をしっかり理解することで、複雑な論理式も正確に扱えるようになります。