数学の問題でよく見かける三重積の計算問題です。この問題では、cos(π/10)、cos(3π/10)、cos(7π/10)、cos(9π/10)という値を掛け算する式の答えを求めます。この記事では、この式の計算方法について詳しく解説します。
式の確認と基本的な考え方
問題の式は、cos(π/10) * cos(3π/10) * cos(7π/10) * cos(9π/10)です。このような式は、角度の三重積を使った計算になりますが、まずはそれぞれのコサインの値を理解し、式の簡略化方法を探ることが重要です。
これらの角度は、すべてπ/10の整数倍であり、特定の角度に関する三角関数の恒等式を使うことで、計算を簡素化することができます。
三角関数の恒等式を利用した解法
この式を解くためには、特定の三角関数の恒等式を利用します。特に、角度の関係を理解するために、以下の恒等式が役立ちます。
- cos(π – x) = -cos(x)
- cos(θ)の積に関する恒等式
これらの恒等式を駆使して、積を簡略化していきます。具体的には、角度の対称性を活かすことで、計算を進めることができます。
具体的な計算手順
まず、cos(7π/10)とcos(3π/10)は対称性を利用することができ、cos(7π/10) = -cos(3π/10)という関係が成立します。これにより、計算が簡単になります。さらに、cos(π/10)とcos(9π/10)の間にも同様の関係があり、これらを掛け合わせることで、最終的に数値を求めることができます。
このように、三角関数の積に関する恒等式と対称性を利用することで、複雑な積を簡単に計算することができます。
答えとその解釈
最終的な計算結果として、この式の値は1/16となります。したがって、cos(π/10) * cos(3π/10) * cos(7π/10) * cos(9π/10) = 1/16 です。
この結果は、三角関数の積を利用した特定の恒等式を理解することで導かれるものです。数学では、特に対称性や恒等式を利用することで、複雑な計算を簡単にすることができます。
まとめ
cos(π/10) * cos(3π/10) * cos(7π/10) * cos(9π/10)の計算は、三角関数の恒等式と角度の対称性を利用することで解くことができます。このような問題を解くためには、三角関数の特性を理解し、計算の簡略化方法を知ることが重要です。最終的に、この式の答えは1/16であることがわかりました。
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