高校数学の問題で、「x≧0、y≧0、3x＋5y≦15、2x＋y≦7」の条件下で、x + y の最大値と最小値を求める問題があります。この記事では、この問題を詳しく解説し、求め方をステップごとに説明します。最適化問題を解くための基本的なアプローチと計算方法を学びましょう。
問題を整理する
まず、与えられた条件を整理します。
- x≧0
- y≧0
- 3x + 5y ≦ 15
- 2x + y ≦ 7
この問題では、x と y の値を適切に選んで、x + y の最大値と最小値を求めます。まず、グラフを描くことから始めましょう。
グラフを描いて制約を視覚化する
まず、3x + 5y ≦ 15 と 2x + y ≦ 7 の不等式をグラフにプロットします。
1つ目の不等式「3x + 5y ≦ 15」は、y = (15 – 3x) / 5 という式に変換できます。この直線をグラフに描くと、xとyの範囲を制限する直線が得られます。
2つ目の不等式「2x + y ≦ 7」は、y = 7 – 2x という式に変換できます。この直線もグラフに描きます。
交点を求める
次に、これらの2つの直線が交わる点を求めます。交点を求めるために、次の2つの式を連立させます。
- 3x + 5y = 15
- 2x + y = 7
この連立方程式を解くと、x と y の値が求まります。連立方程式を解くと、x = 3、y = 1 という解が得られます。この交点が、x と y の最大値と最小値を求めるための重要な点です。
最大値と最小値を求める
次に、x + y の最大値と最小値を求めます。問題の条件から、x ≧ 0、y ≧ 0 であるため、交点 (x = 3, y = 1) が1つの候補となります。
また、x や y が 0 のときの値もチェックします。例えば、x = 0 のとき、3x + 5y ≦ 15 から 5y ≦ 15 となり、y ≦ 3 です。したがって、y = 3 のとき、x + y = 3 となります。これが最小値です。
最終的な答え
最終的に、x + y の最大値は 4（交点 (3, 1) から）、最小値は 3（x = 0, y = 3 のとき）となります。
まとめ
この問題では、与えられた不等式のグラフを描き、交点を求めることで x + y の最大値と最小値を求めることができました。最大値は 4、最小値は 3 であることがわかりました。このように、制約条件に従って問題を解くことで、最適解を見つけることができます。
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