微分方程式の一般解と初期条件を満たす特殊解の求め方

微分方程式の解法では、一般解を求めた後に初期条件を使って特殊解を導きます。この記事では、2つの微分方程式の解法について、詳細なステップを解説します。問題ごとに一般解を求め、初期条件に基づく特殊解を導き出す方法を学びましょう。

(1) y * dy/dx – x = 2 の解法

まず、与えられた微分方程式「y * dy/dx – x = 2」を整理します。

この式をdy/dxについて解くために、まずy * dy/dxを右辺に移項し、次のようにします。

y * dy/dx = x + 2

次に、両辺をyで積分します。この方法は分離変数法を使用するためです。

∫y dy = ∫(x + 2) dx

それぞれを積分すると。

y²/2 = x²/2 + 2x + C

これが一般解です。次に、初期条件x = 0, y = 3を使ってCを求めます。

3²/2 = 0²/2 + 2*0 + C

したがって、C = 9/2 です。

最終的に、初期条件を満たす特殊解は。

y²/2 = x²/2 + 2x + 9/2

次に、微分方程式「dy/dx – y/x = ln(x)」を解きます。

これは線形微分方程式です。まず、y/xという形の項を整理するため、式を次のように変形します。

dy/dx = y/x + ln(x)

ここで、積分因子を使うため、まずは1/xを積分因子として掛けます。

(1/x) * dy/dx + (y/x²) = (ln(x))/x

これにより、左辺は積分の形に簡略化され、次に積分します。解の一般形は次のようになります。

y/x = ∫(ln(x)/x) dx

この積分を解くと、結果は次のようになります。

y/x = (ln(x))²/2 + C

最後に、初期条件x = e, y = eを使用してCを求めます。

e/e = (ln(e))²/2 + C

したがって、C = 0です。

最終的に、初期条件を満たす特殊解は。

y/x = (ln(x))²/2

したがって、y = x * (ln(x))²/2 となります。

微分方程式の解法では、まず一般解を求め、次に初期条件を使って特殊解を求めます。今回の問題では、分離変数法や線形微分方程式の解法を用いて、与えられた微分方程式の解を導きました。それぞれの問題を適切に解くためには、手順をしっかりと守ることが重要です。