微分方程式の解法：xy’^2 – 4yy’ + x^3 = 0

この問題では、微分方程式「xy’^2 – 4yy’ + x^3 = 0」を解く方法について解説します。まず、この式を適切に整理し、解法の手順を順を追って説明します。

微分方程式の式の理解

与えられた式は次のようになっています。

xy’^2 – 4yy’ + x^3 = 0

ここで、y’ は y の導関数を意味します。この方程式は、x と y の関係を示すもので、y とその導関数 y’ を含んでいます。まずは、この式を整理していきます。

式の整理と変形

式を整理すると、次の形になります。

xy’^2 – 4yy’ = -x^3

これを更に簡単にするために、y’ を一方にまとめ、残りの項を他方に移します。ここで重要なのは、この方程式を変形してからどのように解くかということです。

方程式の解法：y’に関する方程式

次に、この式を解くために、y’を明示的に求めます。式の形に注目し、y’ に関する2次方程式として整理できます。

y’^2 – (4y/x)y’ + x^2 = 0

この2次方程式を解くために、解の公式を用いてy’を求めます。解の公式により、y’の値が求まります。

解の適用と結果の確認

解の公式により求まった y’ を元の式に代入し、yの値を求めることができます。最終的な解は、x と y の関係を明確にするものです。

まとめ

微分方程式「xy’^2 – 4yy’ + x^3 = 0」の解法では、式の整理から解の公式を使って導関数 y’ を求める手順が重要です。数学的な計算を丁寧に進めていくことが解法の鍵となります。具体的な解法手順を踏むことで、この問題を解くことができます。