乗法定理と条件付き確率の違いと見分け方

数学Aで学ぶ「乗法定理」と「条件付き確率」の違いに関して、混乱することはよくあります。これらは似ているようで異なる概念ですが、それぞれの役割を理解すれば、違いを明確に把握することができます。この記事では、乗法定理と条件付き確率の違いと、それぞれをどのように見分けるかについて解説します。

1. 乗法定理とは？

乗法定理は、2つの事象が同時に起こる確率を求めるための定理です。基本的な形は、P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A) です。この式では、AとBという2つの事象が同時に発生する確率を計算する方法が示されています。

乗法定理は、「Aが起きた後でBが起きる確率」を掛け合わせることで、2つの事象が同時に発生する確率を求めます。このとき、BがAに依存している場合には条件付き確率が登場します。

条件付き確率は、ある事象が起きた後で別の事象が起こる確率を求めるための概念です。P(B|A) は「Aが起こったという条件の下でBが起こる確率」を意味します。条件付き確率は、事象が互いに依存している場合に重要です。

例えば、「天気予報で雨が降る確率は60％であるが、もし昨日に傘を持って出かけた場合、雨が降る確率は80％になる」という場合、昨日に傘を持って出かけたという条件を元に、雨が降る確率を求めることになります。

乗法定理と条件付き確率の違いは、主に2つの事象の依存関係にあります。乗法定理は、2つの事象が同時に起こる確率を求めるための一般的な公式であり、その中に条件付き確率が含まれます。

条件付き確率は、ある事象が既に起こっている場合に他の事象が起こる確率を求めるため、依存関係が強調されます。つまり、乗法定理は条件付き確率を使って計算する場合の公式として用いられ、条件付き確率はその前提となる事象の影響を受けます。

乗法定理と条件付き確率を見分けるためには、問題の中で事象がどのように関連しているかに注目します。

乗法定理: 「2つの事象が同時に起こる確率」を求める問題で使用します。例えば、2回サイコロを振って、1回目が偶数で2回目が3以上という確率を求める場合などです。
条件付き確率: 「ある事象が起こった後で、別の事象が起こる確率」を求める問題で使用します。例えば、サイコロを振った後で、出た目が偶数だった場合に、次に出る目が3以上である確率を求める場合などです。