質問者様が提起した問題は、4桁の数字で、すべての数字が異なる組み合わせが何通りあるのかというものです。具体的な計算方法について検討し、また間違いを見つけるためのステップを考えます。
1. 4桁の数字の組み合わせの計算方法
まず、0から9までの数字の中から、4つの異なる数字を選び、これを並べる場合の組み合わせの数を求めます。選べる数字は10個で、最初に4桁の数字を作るために1つの数字を選びます。その後、選んだ数字を除いた9つから次の数字を選び、さらにその後の選択肢も減っていきます。
したがって、計算式は以下のようになります。
10 × 9 × 8 × 7 = 5040通り
2. 順列の考え方と組み合わせの違い
質問者が提示した式「（10×9×8×7）÷（4×3×2×1）＝210」は、組み合わせの計算式のように見えますが、実際には順列に基づく計算です。順列は順番を考慮した場合の選び方を計算する方法で、上記の式で計算される通り数は、選ばれた数字の順序も重要視している場合です。
しかし、質問者が求めているのは、すべて異なる数字の組み合わせだけを考慮した通り数なので、順列ではなく組み合わせを考える必要はありません。ここで重要なのは、選ばれる数字が順番に関わらず、選ばれた4つの数字だけを考える点です。
3. 何が間違っているか
質問者の式は、順列を使った計算式ですが、正しくは単純に順番を無視した選び方、つまり、「10×9×8×7」のみで十分です。質問者の式では分母で「4×3×2×1」が掛けられており、これは組み合わせに関する計算で使用されるものです。しかし、順番に関係なく、4つの数字を選ぶ場合は単純に10×9×8×7となります。
4. 結果として求められる正しい通り数
したがって、異なる4つの数字を選んで並べる場合の通り数は、「10×9×8×7＝5040通り」です。もし質問者が意図しているのが異なる4つの数字で構成された順列なら、この答えが正しいことになります。
5. まとめ：適切な計算方法と理解
4桁の数字の組み合わせを求める問題では、数字がすべて異なる場合、その計算は順列に基づくものです。質問者の式に関しては、組み合わせを扱っているわけではなく、誤って式を組み合わせと順列を混同してしまったために問題が発生しました。適切な順列の計算式を使用すれば、答えは5040通りになります。
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