円の直径の標準偏差に関する測定回数の誤解とその正しい解法

この質問では、円板の直径の標準偏差と信頼区間の幅を使って、何回測定すればよいかを計算する問題について解説します。質問者は、信頼区間の幅が1cm以下になるように測定回数を求めようとしましたが、その方法には誤解が含まれていました。

1. 問題の理解

問題は、ある円板の直径の標準偏差が5.7cmであり、精度1cm以内でこの直径の真の値を求めたいというものです。信頼区間の幅が1cm以下になるように、何回測定すればよいかを求める問題です。

信頼区間を求めるためには、まず標準誤差を計算する必要があります。標準誤差は、標準偏差を測定回数の平方根で割った値です。問題文では、精度1cm以内を求めているため、信頼区間の幅が1cmになるように、標準誤差を求めます。

質問者は、信頼区間の幅が1cm以下であるという条件から、式「2・1.96・5.7/√n ≦ 1」を使って計算を行いました。この式は、正しい形ではありません。信頼区間の幅を1cmにするためには、1.96ではなく、標準正規分布の確率を考慮して計算する必要があります。

正しい計算方法は、信頼区間の幅を以下のように表現します。

Z値は、信頼度に応じた値です。例えば、95%の信頼区間の場合、Z値は1.96です。したがって、正しい式は「2 × (5.7 / √n) × 1.96 ≦ 1」となり、これを解くことで必要な測定回数nを求めることができます。

正しい方法で計算すると、必要な測定回数nは約125回となります。信頼区間の幅を求める際は、標準誤差とZ値を考慮し、測定回数を適切に算出することが重要です。