△ABCの三角形の角度と辺の長さの求め方：解法ステップの解説

△ABCの三角形において、辺の長さと角度の関係を求める問題は、三角法を活用することで解くことができます。ここでは、与えられた情報をもとに、CAの長さと各角度（A、B）の求め方について、順を追って解説します。

問題の整理と三角形の条件

問題文から、次の情報が与えられています。

この情報を使って、CAの長さと三角形の角度AとBを求める必要があります。ここで、CAには2つの可能性（アとイ）があるため、それぞれの場合に分けて解いていきます。

まず、CAの長さを求めるためには、余弦定理を使います。余弦定理は次の式で表されます。

CA² = AB² + BC² – 2 × AB × BC × cos(∠C)

与えられた値を代入して計算すると。

CA² = 10² + (10√3)² – 2 × 10 × 10√3 × cos(30°)

ここで、cos(30°)は√3/2なので。

CA² = 100 + 300 – 2 × 10 × 10√3 × (√3/2)

計算を進めると。

CA² = 400 – 300 = 100

したがって、CA = √100 = 10となります。

次に、CA = 10のとき、角度Aと角度Bを求めます。この場合、正弦定理を使います。正弦定理は次のように表されます。

sin(A) / BC = sin(C) / CA

この式に値を代入して角度Aを求めます。

sin(A) / (10√3) = sin(30°) / 10

sin(30°)は1/2なので、式は次のようになります。

sin(A) / (10√3) = 1/2 / 10

これを解くと、sin(A) = 1 / (2√3) となり、A ≈ 30°となります。

次に、角度Bを求めるために、三角形の内角の和が180°であることを利用します。

∠A + ∠B + ∠C = 180°

ここで、∠C = 30°、∠A ≈ 30° なので。

30° + ∠B + 30° = 180°

∠B = 120°となります。

CAがもう一つの値（イ）の場合も、余弦定理を使って計算し、同様に角度AとBを求めます。計算の手順はCAがアの場合と同じですが、CAが異なるため角度も変わる可能性があります。具体的な手順は、CAの長さを新しい値で求め、その後の計算を行います。

△ABCの問題では、余弦定理と正弦定理を活用して、与えられた情報からCAの長さと角度を求めました。CAの長さが10の場合、角度Aは約30°、角度Bは120°となりました。この問題を解くためには、三角法の定理をしっかり理解し、適切に使い分けることが重要です。