z = x² - 6xy + 10y² + 2y の最小値とその求め方

関数 z = x² – 6xy + 10y² + 2y の最小値を求める問題は、関数の形を整理して解析することで解けます。この記事では、与えられた関数の変形方法とその最小値を求める過程について詳しく解説します。

与えられた関数の整理

最初に与えられている関数は、z = x² – 6xy + 10y² + 2y です。これを最小化するためには、まずこの式を整理して、平方完成を行う必要があります。平方完成を行うことで、最小値がどこで発生するかを見つけることができます。

平方完成を使って式を整理すると、次のようになります。

z = (x – 3y)² + (y + 1)² – 1

ここで重要なのは、この式が放物線の形をしているため、最小値は、この式の中で平方項が最小になるときに現れるという点です。

平方完成を行う過程では、以下のように式を展開します。

この式では、(x – 3y)² と (y + 1)² の両方が平方項であり、それぞれ最小値を取ることができます。最小値を取るためには、これらの項が 0 になる必要があります。

最小値を取る条件は、(x – 3y)² と (y + 1)² の両方が 0 になることです。したがって、次の条件を満たす必要があります。

これを満たす x と y の値は、x = 3(-1) = -3 となり、y = -1 です。

x = -3 と y = -1 のとき、元の関数に代入して最小値を確認します。

z = (-3)² – 6(-3)(-1) + 10(-1)² + 2(-1)

計算すると。

z = 9 – 18 + 10 – 2 = -1

したがって、最小値は -1 であり、そのときの x と y の値は x = -3、y = -1 です。

関数 z = x² – 6xy + 10y² + 2y の最小値を求めるためには、平方完成を用いて式を整理し、最小値を取る x と y の値を求めることが重要です。この場合、最小値は -1 であり、x = -3、y = -1 のときに達成されます。