ベクトルの問題で、特に三角形に関連する問題では、点の位置をベクトルを使って表現することが一般的です。この問題では、△OABの内分点C、D、Eを使って、交点Pを求める方法について解説します。まずは、与えられた情報をもとに計算方法を整理していきます。
1. 問題の整理
まず、問題の設定を整理します。△OABにおいて、以下の点が与えられています。
- 点Cは辺OAを2:3に内分する点
- 点Dは辺ABを1:3に内分する点
- 点Eは辺ABの中点
- 線分BCと線分EDの交点をPとする
また、ベクトルとしてOAを、OBをとした場合、求めたいのは点PのベクトルOPです。
2. 各点のベクトル表現
次に、与えられた点C、D、Eをベクトルで表現します。
- 点Cは辺OAを2:3に内分する点ですから、Cのベクトルはの2/5の位置、すなわち、C = (2/5)aとなります。
- 点Dは辺ABを1:3に内分する点ですので、DのベクトルはAからBに向かって1:3の比で分けるため、D = (3/4)b + (1/4)aとなります。
- 点Eは辺ABの中点ですから、EのベクトルはE = (1/2)a + (1/2)bです。
3. 線分BCとEDの交点Pの求め方
次に、線分BCと線分EDの交点Pを求めます。交点Pは、これらの線分が交わる点なので、まずは線分BCの方程式とEDの方程式をそれぞれ求めます。
- 線分BCは点Bから点Cへ向かうベクトル方向ですので、P = (1-t)b + tC（tは0から1の間の定数）で表せます。
- 同様に、線分EDは点Eから点Dへ向かうベクトル方向ですので、P = (1-s)E + sD（sは0から1の間の定数）で表せます。
4. 交点Pを求める
交点Pは両方の線分に共通する点であるため、両方の式が一致する点を求める必要があります。これにより、tとsの値を計算し、最終的にOPを求めることができます。計算を進めると、tとsの値が決まり、点PのベクトルOPが得られます。
まとめ
この問題では、ベクトルを使って点の位置を求め、交点を計算する方法を学びました。点PのベクトルOPを求めるためには、まず各点をベクトルで表現し、次に線分の方程式を立てて交点を求めるという手順を踏みます。この方法を使うことで、複雑なベクトルの問題でも解答を導き出すことができます。
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