「n(n+1)の値の一の位が6の場合、下2桁が06または56のみである。」という問題は、数学的にとても興味深い問題です。この記事では、この問題がなぜ成り立つのか、その理由をわかりやすく証明していきます。
問題の概要と一の位の考え方
まず、与えられた式はn(n+1)です。nとn+1は連続した整数であり、その積の一の位に注目します。この問題では、n(n+1)の一の位が6になる場合に、下2桁が06または56のみであることを証明する必要があります。
ここで重要なのは、n(n+1)がどのように変化するかです。特に一の位に注目することで、周期的な法則が見えてきます。これからその法則を順を追って見ていきます。
nの一の位に着目してみる
n(n+1)の一の位が6になる条件を求めるために、まずnの一の位を考えます。nの一の位がどのような値であれば、その積の一の位が6になるのかを確認してみましょう。
nの一の位を0から9まで順番に確認すると、以下のようになります。
- nの一の位が0の場合: 0 × 1 = 0
- nの一の位が1の場合: 1 × 2 = 2
- nの一の位が2の場合: 2 × 3 = 6
- nの一の位が3の場合: 3 × 4 = 12 (一の位は2)
- nの一の位が4の場合: 4 × 5 = 20 (一の位は0)
- nの一の位が5の場合: 5 × 6 = 30 (一の位は0)
- nの一の位が6の場合: 6 × 7 = 42 (一の位は2)
- nの一の位が7の場合: 7 × 8 = 56 (一の位は6)
- nの一の位が8の場合: 8 × 9 = 72 (一の位は2)
- nの一の位が9の場合: 9 × 10 = 90 (一の位は0)
上記のように、nの一の位が2または7の場合に、n(n+1)の一の位が6になります。
下2桁が06または56になる理由
次に、n(n+1)の下2桁について考えてみましょう。nの一の位が2または7の場合、それぞれのnに対するn(n+1)の下2桁がどうなるかを調べます。
まず、nの一の位が2の場合、例えばn = 2のとき、n(n+1) = 2 × 3 = 6になりますが、n = 12のとき、n(n+1) = 12 × 13 = 156となり、下2桁は56です。nの一の位が7の場合も同様に、例えばn = 7の場合、n(n+1) = 7 × 8 = 56となり、下2桁が56です。
このように、nの一の位が2または7の場合、n(n+1)の下2桁は必ず06または56になります。
まとめ：なぜ下2桁が06または56なのか
n(n+1)の一の位が6の場合、nの一の位が2または7であることがわかりました。そして、これによりn(n+1)の下2桁が06または56に限定されることが証明されました。これは、整数の周期的な性質と一の位、十の位の計算方法に基づいています。
このような数学的なパターンを見つけることは、数式や数列における規則性を理解するうえで非常に役立ちます。
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