整数問題でよく見かける「連続する整数が互いに素である」という命題を証明する方法について解説します。この問題では、2つの連続した整数が最大公約数が1であること、つまり互いに素であることを示す必要があります。質問者が提案した方法を元に、どのように進めていくかを詳しく見ていきます。
整数の最大公約数と互いに素の定義
まず、「互いに素」という言葉の意味を確認しておきましょう。2つの整数が互いに素であるとは、それらの整数の最大公約数（GCD）が1であることを意味します。例えば、整数aとbがあり、GCD(a, b) = 1であれば、aとbは互いに素です。
問題のアプローチ
この問題では、連続する整数aとa+1が互いに素であることを証明する必要があります。具体的には、aとa+1の最大公約数が1であることを示します。質問者が提案している方法は、非常に良いアプローチです。
質問者の方法では、最初にaとa+1の最大公約数をpとおいて、その後にpを使って式を進めています。この時、pが1であることを証明するために、式を(B – A)p = 1の形にまで持ち込むというステップが取られています。
質問者の方法の正当性
質問者の考え方で特に間違っている部分はありません。まず、aとa+1が共通の約数pを持つと仮定し、式を立てます。次に、a = Ap, a+1 = Bpという形に式変形し、そこからpを求める方法です。結果的に、この式の中で(B – A)p = 1と変形され、pが1であることが示されます。
ここで重要なのは、「B – Aは整数、pは負でない整数」という部分です。これにより、pが1であることが示され、最終的にaとa+1が互いに素であることが確認されます。
まとめと考察
この問題の解法は、数学的な直感と証明をしっかりと結びつけて理解する良い練習になります。質問者の方法は正しいですし、式変形の途中に抜けている部分はないと言えます。最も重要なことは、仮定からスタートして最終的に矛盾なくpが1であることを示すことです。このようにして、連続した整数が必ず互いに素であるという事実を証明できます。
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