この問題では、リミットを取った後の積分が定義された形に収束することを示す必要があります。具体的には、積分式 lim_{α↑1}∫_0^π ln(1+αcos x)dx が ∫_0^π ln(1+cos x)dx に等しいことを証明します。この記事では、その解法のアプローチについてわかりやすく説明します。
問題の設定と式の理解
与えられた式は、次のように記述されています：
lim_{α↑1}∫_0^π ln(1+αcos x)dx = ∫_0^π ln(1+cos x)dx。この問題を解くためには、まず式が示す意味を理解することが重要です。
式の左辺は、αが1に近づくときの積分のリミットを取ったものです。右辺はα = 1 の場合の積分です。この二つが等しいことを証明するのがこの問題の目的です。
積分の収束と連続性
積分を取る際、連続性と収束性を確認することが重要です。まず、関数 ln(1 + αcos x) の α に関する挙動を考えます。αが1に近づくと、関数 ln(1 + αcos x) は関数 ln(1 + cos x) に収束します。
したがって、αが1に近づくにつれて、積分式も順調に収束し、リミットが定義された積分に一致します。この収束が正しいかどうかを確認するために、積分の連続性を利用することが有効です。
積分の計算方法とリミットの取り方
次に、実際の計算方法を考えます。積分式のリミットを取る際、直接的に α = 1 を代入しても問題ありません。積分は連続関数に対して適用されるため、リミットと積分を交換することができます。
この性質を利用すると、lim_{α↑1}∫_0^π ln(1+αcos x)dx = ∫_0^π ln(1+cos x)dx が成り立つことがわかります。連続性とリミット交換の定理を使うことで、難しい計算を避け、直感的に結果に辿り着くことができます。
まとめ
この問題では、積分のリミットを取る際の収束性を確認し、連続性を利用してリミットと積分の交換を行うことで、式が等しいことを証明しました。積分とリミットの交換が可能であることを利用することで、この問題は比較的簡単に解けます。数学的に重要な収束と連続性の理解が深まる良い例です。
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