線形変換行列の求め方：行列の積の性質を利用した解法

「次の点を対応させる線形変換Aを求めよ」という問題は、線形代数でよく見られる問題です。この問題を解くために、行列の積の性質を利用して解法を見ていきましょう。ここでは、具体的な手順を示しながら解説します。

1. 線形変換とは

線形変換とは、ベクトル空間のベクトルを別のベクトル空間のベクトルに対応させる写像のことです。線形変換は行列で表現され、行列を使って点を変換することができます。

問題では、点(2,3)が点(-1,-1)に、点(-2,4)が点(8,-6)に対応する線形変換Aを求めます。この変換を行列Aで表現したいと思います。

行列の積の性質とは、行列Aがベクトルxに作用するとき、A*x = bという形で表されることです。ここで、xは入力ベクトル、Aは変換行列、bは出力ベクトルです。

まず、与えられた点(2,3)と(-2,4)を対応させる線形変換Aを求めるには、これらの点を行列の列ベクトルとして使い、対応する出力点(-1,-1)と(8,-6)を得るような行列を求めます。

まず、以下の行列方程式を立てます。

行列Aを次のように仮定します。

A = [[a, b], [c, d]]

そして、与えられた点とその対応関係を使って、次の連立方程式を作ります。

1) a(2) + b(3) = -1

2) c(2) + d(3) = -1

3) a(-2) + b(4) = 8

4) c(-2) + d(4) = -6

この連立方程式を解くことで、行列Aの値を求めることができます。

計算を進めると、行列Aが求められます。これにより、与えられた点を対応させる線形変換を行列で表現することができます。

この問題を解くためには、行列の積の性質を理解し、与えられた点とその対応関係から行列方程式を立てて解くことが重要です。線形変換の行列を求める際には、対応する点を列ベクトルとして扱い、連立方程式を解いていきます。